CIRCUNFERENCIA
Circunferencia y sus ecuaciones
Para empezar este tema, vamos a definir qué es una circunferencia:
En palabras más sencillas, es una figura donde todos los puntos se encuentran a una misma distancia del centro
El círculo es muy usado en la actualidad y tiene muchos usos, en geometría analítica lo representamos con dos fórmulas, la fórmula canónica de la circunferencia y la forma general de la ecuación de la circunferencia.
Esta fórmula es muy sencilla, es la siguiente:
Esta fórmula nos indica dos cosas:
El centro del a circunferencia, indicado por h y k, donde estos números serían las coordenadas del centro C(h,k); también nos indica el radio, representado por R . Si quisiéramos saber cuál es el centro y su radio, haríamos lo siguiente
(x-4)2 + (y +3)2= 9
Para sacar el centro, tomamos los números que están entre paréntesis, que son los valores de h y k. Como en la forma canónica tenemos un signo negativo enfrente de los números, eso nos quiere decir que para tener el centro basta con tomar los números entre paréntesis con su signo contrario, por lo que el centro sería:
(4,-3)
Ahora, para sacar el radio es todavía más sencillo, simplemente tomamos el número que está seguido del signo igual y sacamos su raíz cuadrada, hacemos esto porque en la forma canónica tenemos R2, por los que si quisiéramos saber el valor del radio sólo basta con hacer lo siguiente:
√9 = 3
R= 3
En caso de que el centro fuera el origen (0,0), la fórmula queda de la siguiente manera:
La forma general de la circunferencia es la siguiente:
Ésta surge de desarrollar la forma canónica, aquí tenemos el despeje:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Lo que tenemos aquí son dos binomios al cuadrado, y un binomio al cuadrado desarrollado queda de la siguiente manera:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Por lo que siguiendo estas reglas nos queda
x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 = r2
x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 – r2 =0
Si lo ordenamos queda:
x2 + y2 – 2hx – 2ky + (h2 + k2 – r2) = 0
Y si a=2h b= – 2k y c= h2 + k2 – r2
Entonces si queda
x2 + y2 +ax + by + c =0
Para hacer esto, se sigue el siguiente procedimiento, aquí tenemos un ejemplo:
x2 + y2 -14x -20y + 68 = 0
Lo primero que hacemos es que juntamos las x con las x y las y con las y y pasamos el término libre al otro lado
x2 -14x + y2-20y = – 68
Ahora vamos a dividir los coeficientes de x y y lo elevamos al cuadrado, en este caso 14 y 20, tendríamos:
14/2 = 7
72 = 49
20/2= 10
102= 100
Lo que vamos a hacer con estos números es completar el trinomio cuadrado perfecto (El resultante de desarrollar (a2 + b2)) y también pasar esos números al otro lado de la ecuación.
(x2 -14x +49) + ( y2-20y + 100) = – 68 + 49 + 100
Ahora factorizamos los trinomios cuadrados perfectos y sumamos el otro lado de la ecuación, para factorizar un trinomio cuadrado perfecto simplemente sacamos las raíces cuadradas de los extremos y tomamos el símbolo del segundo término:
a2 + 2ab + b2 =(a + b)2
a2 – 2ab + b2 =(a – b)2
Entonces tenemos:
(x – 7)2 + (y – 10)2 =81
Si el radio es positivo, entonces la circunferencia es real.
Si el radio es negativo, la circunferencia es imaginaria.
Si el radio es cero, entonces la fórmula sólo está representando al punto (h,k)
Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistas de un punto fijo llamado centro.
En palabras más sencillas, es una figura donde todos los puntos se encuentran a una misma distancia del centro
El círculo es muy usado en la actualidad y tiene muchos usos, en geometría analítica lo representamos con dos fórmulas, la fórmula canónica de la circunferencia y la forma general de la ecuación de la circunferencia.
1-Forma canónica de la circunferencia
Esta fórmula es muy sencilla, es la siguiente:
Esta fórmula nos indica dos cosas:
El centro del a circunferencia, indicado por h y k, donde estos números serían las coordenadas del centro C(h,k); también nos indica el radio, representado por R . Si quisiéramos saber cuál es el centro y su radio, haríamos lo siguiente
(x-4)2 + (y +3)2= 9
Para sacar el centro, tomamos los números que están entre paréntesis, que son los valores de h y k. Como en la forma canónica tenemos un signo negativo enfrente de los números, eso nos quiere decir que para tener el centro basta con tomar los números entre paréntesis con su signo contrario, por lo que el centro sería:
(4,-3)
Ahora, para sacar el radio es todavía más sencillo, simplemente tomamos el número que está seguido del signo igual y sacamos su raíz cuadrada, hacemos esto porque en la forma canónica tenemos R2, por los que si quisiéramos saber el valor del radio sólo basta con hacer lo siguiente:
√9 = 3
R= 3
En caso de que el centro fuera el origen (0,0), la fórmula queda de la siguiente manera:
2-Forma general de la circunferencia
La forma general de la circunferencia es la siguiente:
Ésta surge de desarrollar la forma canónica, aquí tenemos el despeje:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
Lo que tenemos aquí son dos binomios al cuadrado, y un binomio al cuadrado desarrollado queda de la siguiente manera:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Por lo que siguiendo estas reglas nos queda
x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 = r2
x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 – r2 =0
Si lo ordenamos queda:
x2 + y2 – 2hx – 2ky + (h2 + k2 – r2) = 0
Y si a=2h b= – 2k y c= h2 + k2 – r2
Entonces si queda
x2 + y2 +ax + by + c =0
3-Convertir de forma general a forma canónica
Para hacer esto, se sigue el siguiente procedimiento, aquí tenemos un ejemplo:
x2 + y2 -14x -20y + 68 = 0
Lo primero que hacemos es que juntamos las x con las x y las y con las y y pasamos el término libre al otro lado
x2 -14x + y2-20y = – 68
Ahora vamos a dividir los coeficientes de x y y lo elevamos al cuadrado, en este caso 14 y 20, tendríamos:
14/2 = 7
72 = 49
20/2= 10
102= 100
Lo que vamos a hacer con estos números es completar el trinomio cuadrado perfecto (El resultante de desarrollar (a2 + b2)) y también pasar esos números al otro lado de la ecuación.
(x2 -14x +49) + ( y2-20y + 100) = – 68 + 49 + 100
Ahora factorizamos los trinomios cuadrados perfectos y sumamos el otro lado de la ecuación, para factorizar un trinomio cuadrado perfecto simplemente sacamos las raíces cuadradas de los extremos y tomamos el símbolo del segundo término:
a2 + 2ab + b2 =(a + b)2
a2 – 2ab + b2 =(a – b)2
Entonces tenemos:
(x – 7)2 + (y – 10)2 =81
4-Datos importantes
Si el radio es positivo, entonces la circunferencia es real.
Si el radio es negativo, la circunferencia es imaginaria.
Si el radio es cero, entonces la fórmula sólo está representando al punto (h,k)
Comentarios
Publicar un comentario