PARÁBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

 

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.
Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz

Elevando al cuadrado ambos miembros:

[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2

Desarrollando y simplificando

X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2

X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2

X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2

-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp

(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp

(y - k)2 = 4Xp - 4hp

(y - k)2 = 4p(X - h)

Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:

y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp

y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0

Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:

y2 + Dy +Ex + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:

Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2

(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp

(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp

(X - h)2 = 4yp - 4kp

(X - h)2 = 4p(y - k)

Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:

X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp

X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:

X2 + Dx + Ey + F = 0

EJEMPLO.

Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola  con vértice en el origen y  contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. 

Resolución:  Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación.

y   =  4px :

16 = 4p(3)

p=16/12=4/3

y2= 16/3x

Foco:   F (4/3,0) Directriz: x= -4/3